segunda-feira, 12 de julho de 2010

EVOLUÇÃO DA TABUADA!

Tabelas de múltiplos
 

Na tábua está a tabuada do 30, que ocupa tanto a frente como a parte de trás da tábua.

Existem várias centenas de tábuas, provenientes da Mesopotâmia, de cerca do 2.º milénio a.C., com uma tabuada da multiplicação, consistindo num dado número multiplicado pelos inteiros de 1 a 19 e depois por 20, 30, 40 e 50, por vezes as tábuas terminam com uma listagm de quadrados, raízes quadradas e reciprocos do número dado. Só na colecção de Schoyen existem 148 tábuas deste tipo (Friberg, 2007). Não existem, desta época, tábuas com tabuadas para o 11, 13 e 17, mas existem 1,25; 3,75 e outros números "decimais". Encontram-se, nesta época, tábuas da multiplicação para os seguintes números:
 

50 36 20 12,5 8 6 3 + 20/60 2
48 30 18 12 7,5 5 3 1 + 40/60
45 25 16 + 40/60 10 7,2 4,5 2,5 1,5
44 + 26/60 + 40/60 24 16 9 7 4 2,4 1 + 20/60
40 22,5 15 8 + 20/60 6 + 40/60 3,75 2,25 1,25
Embora não se saiba exactamente porque razão escolheram estas tabuadas, todas as tabuadas que se encontraram, até hoje, à excepção da do 7, são para números sexagésimais regulares, ou seja, números cujos recíprocos dão uma fracção sexagesimal  (Katz, 1993), ou seja, dizimas finitas, na base 60. Só de uma época posterior, cerca de 500 a.C. aparece uma tábua com a tabuada do 13.
Estas tábuas deveriam pertencer aos escribas que estariam a aprender a tabuada, ao que parece estes escribas, pelo menos os de Larsa, levariam cerca de 1 ano a aprender todas tabuadas (Robson, 2007).
Na tábua seguinte (CBS 2142), de Nippur, de cerca do início do 2.º milénio a.C., pode ver-se a tabuada do 15, realizada pelo professor nas colunas da esquerda e nas colunas da direita a cópia do aluno, que está inacaba (Robson, 2003).


Tádua CBS 2142, da tabuada do 15, escrita pelo professor e por um aluno
Há, também, várias tábuas em que aparecem mais do que uma tabuada.
A seguir apresentam-se alguns links para imagens, on-line, de diversas tábuas com tabuadas:
 
Tábuas com uma tabuada
Código da tábua Múltiplos Origem Data
MS 3866
1,2
Babilónia c.1800 a.C.
UM 55-21-289 1 + 2/3 - -
MS 3967/1 2 ? c.1800 a.C.
UM 55-21-360 3 - -
Cornel 76 3,75 ? ?
YBC 11924 4 Larsa c.1800 a.C.
KM 89406 5 ? c.1800 a.C.
NBC 7344 5 - c.1800 a.C
MS 2829 7 ? c.1800 a.C
Ash 1924-457 7,2 Marad c.1800 a.C.
Cornel 58 7,5 ? c.1800 a.C.
Ash 1923-318 8 Larsa c.1800 a.C.
HS 0217a 9 Nippur -
Ash 1924-472 10 ? c.1800 a.C.
VAT 07858 10 ? ?
Ash 1924-450 12 Larsa c.1800 a.C.
MS 2184/3 12 ? c.1800 a.C.
BM 141493 13 Warka? c. 500 a.C.
Ash 1932-180 12,5 Kish c.1800 a.C.
MS 2708 18 ? c.1800 a.C.
Ash 1924-451 24 Larsa c.1800 a.C.
MS 3873/1 24 ? c.1800 a.C.
Cornel 31 25
?
c.1800 a.C.
UM 29-15-503 30
-
c.1800 a.C
MS 2875 30
?
c.1800 a.C
UM 29-15-485 36
-
c.1800 a.C
MS 3909/3 40
?
c.1800 a.C
MS 3044/3 45
?
c.1800 a.C
MS 3849 50
?
c.1800 a.C
Tábuas com várias tabuadas

MS 2878 22,5 e 20
?
c.1800 a.C
MS 3891 7; 6 + 40/60; 6
?
c.1800 a.C
MS 3939 8; 7,5; 7,2 e 7
?
c.1800 a.C
MS 3870 5 tabuadas
?
c.1800 a.C
MS 3845 11 tabuadas
?
c.1800 a.C
MS 3974 40 tabuadas
?
c.1800 a.C

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